Hola,
en principio no hay límite en el numero de mensajes, lo que sí que está limitado es el numero máximo de mensajes que se pueden enviar en una hora, que son 15.
De todos modos no estaría mal que cada uno fuese limpiando su bandeja de vez en cuando, porque si no tarde o temprano surgirán problemas.
Una vez estas viendo tus mensajes privados hay a la izquierda unas opciones, entre ellas hay una que pone "Purgar Mensajes" y sirve para eliminar fácilmente los mensajes antiguos.
Un saludo